Poisson 与几何分布

层级：B｜按需

1. 一个描述计数，一个描述等待

Poisson 分布描述固定时间/空间窗口内事件次数；Geometric 分布描述独立 Bernoulli 试验直到首次成功的等待次数。请求到达、故障数、点击次数和重试次数常从这两个模型开始。

2. Poisson 分布

参数同时是均值与方差，是强假设。

3. Poisson 过程直觉

若事件：

• 在不相交小区间近似独立；
• 发生率稳定；
• 极小区间发生两次以上概率可忽略；

则长度 $t$ 窗口计数可为 Poisson($rt$)。更严格地，Poisson 过程具有独立平稳增量。

真实流量有日周期、突发和用户相关时，常出现过度离散，不应盲用常率 Poisson。

4. 可加性与稀释

独立

则

若每个事件独立以概率 $p$ 保留，保留数为 Poisson($p\lambda$)，丢弃数为 Poisson$((1-p)\lambda)$，且二者独立。这叫 thinning。

5. Binomial 的稀有事件近似

当 $n$ 大、$p$ 小、$np=\lambda$ 固定：

例如大量独立用户各自极小故障概率的总故障数。若个体概率差异或依赖明显，近似可能差。

6. Poisson 回归

对计数 $Y_i$：

用 log link 保证正率：

若暴露时间 $t_i$ 不同：

$\log t_i$ 是 offset，系数固定为 1。

7. 过度离散与零膨胀

若样本方差远大于均值：

• 未建模异质性；
• 事件聚集/相关；
• 负二项分布更合适；
• 随机率混合（Gamma-Poisson）；
• 零膨胀模型区分结构性零与计数零。

若方差小于均值则欠离散，也需其他模型。

8. Geometric 分布的两种约定

独立 Bernoulli 成功率 $p$。

直到首次成功的试验次数

支持 $k=1,2,\ldots$：

首次成功前的失败次数

支持 $k=0,1,ldots$：

库函数采用哪种约定必须确认。

9. 无记忆性

Geometric 满足：

已经连续失败 $s$ 次，不改变还要等待超过 $t$ 次的概率，因为每次成功率恒定且独立。

离散分布中 Geometric 是唯一具有无记忆性的分布；连续对应 Exponential。

10. Negative Binomial

等待第 $r$ 次成功所需试验/失败数得到负二项分布；另一个重要参数化是 Gamma-Poisson 混合，用于过度离散计数。软件对“成功次数、失败次数、均值—离散度”的参数化差异很大，必须查文档。

11. 似然估计

Poisson iid 样本的 MLE：

Geometric iid（试验次数约定）对 $p$ 的 MLE：

但删失、不同暴露时间和零截断会改变似然，不能只套样本均值。

易错点

1. Poisson 强制均值等于方差。
2. rate 必须结合时间/空间窗口单位。
3. Geometric 有两种支持约定。
4. 无记忆性依赖恒定独立成功率。
5. 计数数据大量零不自动证明零膨胀，需要与 Poisson/NB 预期比较。

常见问答

Q1：请求到达一定是 Poisson 吗？

不是。真实系统有批量、重试、缓存失效、周期和共享原因，常显著相关。Poisson 是基线模型，需用均值—方差、时间聚集和残差检验。

Q2：Poisson 回归预测能是小数吗？

模型输出的是条件均值/率 $\lambda$，可为正实数；实际观测计数仍为整数随机变量。

Q3：失败很多次后成功“该来了”吗？

恒定独立 Bernoulli 下不会，这正是无记忆性。若成功率未知，可用数据更新对 $p$ 的后验，预测会变化，但原因是参数不确定性。

练习

1. Poisson($3$) 的零事件概率。
2. 两个独立 Poisson(2)、Poisson(5) 的和。
3. rate 为每小时 4，半小时计数参数是什么？
4. 成功率 0.2，首次成功试验次数期望。
5. 说明 Geometric 两种约定均值为何相差 1。

答案与提示

1. $e^{-3}$。
2. Poisson(7)。
3. $\lambda=2$。
4. 5。
5. 试验次数 = 失败次数 + 1。