实数、数轴、区间与绝对值

层级：A｜必学

1. 为什么机器学习要从“数”重新讲起

数据表里看似都是数字，但数字扮演的角色不同：年龄是实数，类别编号只是标签，概率被限制在 $[0,1]$，损失通常要求非负，模型参数却可能取任意实数。理解数集、区间和绝对值，才能准确阅读“变量能取什么值”“误差有多大”“约束是否满足”。

2. 常用数集

• 自然数：$\mathbb N$，常用来表示样本数、特征数和迭代次数。不同书对是否包含 $0$ 约定不同，使用时要看上下文。
• 整数：$\mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$。
• 有理数：$\mathbb Q$，能写成两个整数之比 $p/q$（$q\neq0$）的数。
• 实数：$\mathbb R$，包括有理数和 $\sqrt2,\pi,e$ 等无理数。机器学习中的连续参数通常属于 $\mathbb R$。
• 正实数：$\mathbb R_{>0}$；非负实数：$\mathbb R_{\ge 0}$。

符号 $x\in\mathbb R$ 读作“$x$ 属于实数集”。$x\notin A$ 表示 $x$ 不属于集合 $A$。$\mathbb R^d$ 不是“实数的 $d$ 次方”，而是所有 $d$ 维实向量的集合；它会在线性代数卷详细解释。

3. 数轴、大小关系与区间

实数可以放在一条数轴上。越靠右越大。区间是数轴上一段连续区域：

例如分类概率 $p\in[0,1]$；Sigmoid 的有限输入对应 $p\in(0,1)$，永远不会精确到达 $0$ 或 $1$。这两个写法传达的信息不同。

4. 绝对值：方向被拿走后的大小

实数 $x$ 的绝对值定义为

所以 $|3|=3$，$|-3|=3$。绝对值不是“去掉负号”的机械操作，而是 $x$ 到原点 $0$ 的距离。进一步，两个实数 $x,y$ 的距离为 $|x-y|$。

若预测值为 $8.5$、真实值为 $10$，绝对误差是 $|8.5-10|=1.5$。交换次序不会改变结果，因为 $|x-y|=|y-x|$。

绝对值满足：

1. 非负性：$|x|\ge0$，且仅当 $x=0$ 时等号成立；
2. 齐次性：$|cx|=|c||x|$；
3. 三角不等式：$|x+y|\le|x|+|y|$。

三角不等式表达“直接走不会比绕路更长”。范数和距离的很多性质都是它的高维版本。

5. 绝对值不等式怎样翻译

当 $r>0$ 时：

它表示 $x$ 落在以 $a$ 为中心、半径为 $r$ 的邻域内。例如 $|x-3|<0.1$ 等价于 $2.9<x<3.1$。

相反，$|x-a|>r$ 表示 $x<a-r$ 或 $x>a+r$。这里是“或”，因为数轴上有左右两个远离中心的区域。

6. 上界、下界、最大值与最小值

若集合中所有 $x$ 都满足 $x\le M$，则 $M$ 是一个上界。上界不一定属于集合，也不一定是最小的上界。

例如开区间 $(0,1)$：

• $1$ 是上界，$2$ 也是上界；
• 集合没有最大值，因为任取 $x<1$，总能找到更大的区间内元素；
• 最小上界（上确界）是 $1$，记作 $\sup(0,1)=1$。

优化里经常区分 $\min$ 与 $\inf$。$\min$ 要求最小值确实被某个可行点取得；$\inf$ 只要求它是最大的下界。

7. 在机器学习中的位置

• 损失函数：绝对误差 $|y-\hat y|$ 对应 L1 损失，平方误差 $(y-\hat y)^2$ 对应 L2 型损失。
• 概率：$P(A)\in[0,1]$。
• 分类阈值：$p\ge0.5$ 与 $p<0.5$ 把区间切成两部分。
• 约束优化：参数可能满足 $w_i\ge0$ 或 $\|\boldsymbol w\|\le C$。
• 收敛：$|x_t-x^*|<\varepsilon$ 表示第 $t$ 次迭代已经足够接近目标。

8. 易错点

1. $-x$ 不一定是负数；若 $x=-2$，则 $-x=2$。
2. $\sqrt{x^2}=|x|$，不是总等于 $x$。
3. $|x+y|$ 通常不等于 $|x|+|y|$，只有某些同号情形才相等。
4. 区间 $[0,1]$ 包含端点，而 $(0,1)$ 不包含。
5. $\infty$ 不是实数，不能说“包含无穷”。

常见问答

Q1：类别编号 1、2、3 属于实数，能直接比较大小吗？

存储上可以用整数，但语义上它们可能只是名称。例如猫=1、狗=2 不意味着狗比猫“大一倍”。模型是否能把它当数值取决于编码方式。

Q2：为什么绝对值在零点不可导？

$|x|$ 在零点左侧斜率为 $-1$，右侧斜率为 $1$，没有唯一切线斜率。优化中会使用次梯度或近端方法处理它。

Q3：误差为什么不能直接用 $y-\hat y$？

带符号误差会发生正负抵消。绝对值或平方让不同方向的偏差都产生非负代价。

练习

1. 用区间表示 $-2\le x<5$。
2. 解不等式 $|x-4|\le2$。
3. 解不等式 $|2x+1|>3$。
4. 判断：$\sqrt{(-5)^2}=-5$。
5. 对真实值 $(2,5,9)$ 和预测值 $(3,3,10)$，计算平均绝对误差。
6. 开区间 $(2,7)$ 是否有最大值？它的上确界是什么？

答案与提示

1. $[-2,5)$。
2. $2\le x\le6$。
3. $2x+1>3$ 或 $2x+1<-3$，即 $x>1$ 或 $x<-2$。
4. 错，结果是 $5$。
5. $(1+2+1)/3=4/3$。
6. 没有最大值，上确界为 $7$。